Question

16．函數(shù)f（x）=cosx-2^x-2^-x-b（b∈R）．
①當b=0時，函數(shù)f（x）的零點個數(shù)0；
②若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點，則b的取值范圍（-∞，-1）．

Answer 1

分析 ①求出函數(shù)的值域，即可推出函數(shù)的零點的個數(shù)．
②利用函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，求解即可．

解答 解：①當b=0時，函數(shù)f（x）=cosx-2^x-2^-x．∵2^x+2^-x$≥2\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=2．
-2^x-2^-x≤-2，cosx≤1，
∴f（x）=cosx-2^x-2^-x≤-1．
函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為0．
②函數(shù)f（x）=cosx-2^x-2^-x-b，函數(shù)是偶函數(shù)，
可得f′（x）=-sinx-2^xln2-2^-xln2，x＞0時，2^xln2+2^-xln2≥2ln2＞1．
-2^xln2-2^-xln2＜-1
-sinx-2^xln2-2^-xln2＜0，
函數(shù)f（x）在x＞0時是減函數(shù)，x＜0時是增函數(shù)，x=0函數(shù)取得最大值：-1．如圖：若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點，則b的取值范圍（-∞，-1）
故答案為：0；（-∞，-1）．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的零點的應用，考查計算能力．