Question

如圖，在正方形ABCD中，求正方形內一點到A，B，D的距離和最短．

Answer 1

考點：兩點間的距離公式,函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,解三角形

分析：以D為旋轉中心，將△APD旋轉60°得到△A'P'D，連P'P，PB，易得△PP'D為等邊三角形，即PP'=PD，則AP+PB+PD=A'P'+P'P+PB，當AP+PB+PD取最小值時，折線A'P'PB成為線段，由余弦定理求得最小值，以及最小值時，∠APD=120°，∠PAD=45°，∠ADP=15°，即可確定P點．

解答： 解：以D為旋轉中心，將△APD旋轉60°得到△A'P'D，連P'P，PB，如圖，
∴PD=P'D，∠PDP'=60°，
∴△PP'D為等邊三角形，
∴PP'=PD，
∴AP+PB+PD=A'P'+P'P+PB，
當AP+PB+PD取最小值時，折線A'P'PB成為線段，
∴∠A'AB=150°，設正方形邊長為a，則由余弦定理可得，
最小值為

a2+a2-2a2•(- 3 2 )

=

2+ 3

a．
易得取最小值時，∠APD=120°，∠PAD=45°，∠ADP=15°，
即可得到所求P點．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線段所夾的角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的性質、余弦定理以及兩點之間線段最短．