Question

13．若直線y=kx+b是曲線y=e^x-2的切線，也是曲線y=e^x-2的切線，則k=1．

Answer 1

分析 先設切點，然后利用切點來尋找切線斜率的聯系，以及對應的函數值，綜合聯立求解即可．

解答 解：設y=kx+b與曲線y=e^x-2的切線，曲線y=e^x-2的切點分別為（x₁，e${\;}^{{x}_{1}-2}$）、（x₂，e${\;}^{{x}_{2}}$-2）；
∵y=e^x-2的切線，曲線y=e^x-2
∴y′=e^x-2，y′=e^x，
∴k=e^x₁-2=e${\;}^{{x}_{2}}$，
∴x₁-x₂=2，①
切線方程分別為y-e${\;}^{{x}_{1}-2}$=e${\;}^{{x}_{1}-2}$（x-x₁），即為y=e${\;}^{{x}_{1}-2}$x+（1-x₁）e${\;}^{{x}_{1}-2}$，
或y-（e${\;}^{{x}_{2}}$-2）=e${\;}^{{x}_{2}}$（x-x₂），即為y=e${\;}^{{x}_{2}}$x+（1-x₂）e${\;}^{{x}_{2}}$-2，
解得（1-x₁）e${\;}^{{x}_{1}-2}$=（1-x₂）e${\;}^{{x}_{2}}$-2，②
由①②解得x₁=2，x₂=0，
則有k=1．
故答案為：1．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，正確設出切點和運用直線方程是解題的關鍵，考查運算能力，屬于中檔題．