考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,三角函數的化簡求值,正弦函數的定義域和值域,正弦函數的單調性
專題：導數的綜合應用
分析：（I）函數f（x）=sinx（1+
）=sinx+
，其定義域為{x|
x≠kπ+，k∈Z}．利用導數的運算法則可得f′（x）=
≥0，即可得出f（x）的單調區(qū)間；
（II）
（1+
）＞2（0＜x＜
）?sinx（1+
）-2x＞0，
x∈(0，)．
令g（x）=sinx（1+
）-2x，
x∈(0，)．利用導數和均值不等式即可得出．
解答：
（I）解：函數f（x）=sinx（1+
）=sinx+
，其定義域為{x|
x≠kπ+，k∈Z}．
f′（x）=cosx+
=
≥0，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是
(kπ-，kπ+)（k∈Z）．
（II）證明：
（1+
）＞2（0＜x＜
）?sinx（1+
）-2x＞0，
x∈(0，)．
令g（x）=sinx（1+
）-2x，
x∈(0，)．
g′（x）=
-2=
++-2＞3-2=
＞0，
∴函數g（x）在
(0，)上單調遞增，且在x=0處連續(xù)．
∴g（x）＞g（0）=0．
∴sinx（1+
）-2x＞0，
x∈(0，)．
即
（1+
）＞2（0＜x＜
）．
點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、三角函數的單調性、均值不等式，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
名校課堂系列答案