Question

已知y=f（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，f′(x)+

f(x)

x

＞0，則關(guān)于x的函數(shù)g(x)=f(x)+

1

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．0

D．0或2

Answer 1

分析：由題意可得，x≠0，因而 g（x）的零點(diǎn)跟 xg（x）的非零零點(diǎn)是完全一樣的．當(dāng)x＞0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的
知識(shí)可得xg（x）在（0，+∞）上是遞增函數(shù)，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上無零點(diǎn)．
同理可得xg（x）在（-∞，0）上也無零點(diǎn)，從而得出結(jié)論．

解答：解：由于函數(shù)g(x)=f(x)+

1

x

，可得x≠0，因而 g（x）的零點(diǎn)跟 xg（x）的非零零點(diǎn)是完全一樣的，
故我們考慮 xg（x）=xf（x）+1 的零點(diǎn)．
由于當(dāng)x≠0時(shí)，f′(x)+

f(x)

x

＞0，
①當(dāng)x＞0時(shí)，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+

f(x)

x

）＞0，
 所以，在（0，+∞）上，函數(shù)x•g（x）單調(diào)遞增函數(shù)．
又∵

lim

x→0

[xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函數(shù) x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
因此，在（0，+∞）上，函數(shù) x•g（x）=xf（x）+1 沒有零點(diǎn)．
②當(dāng)x＜0時(shí)，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+

f(x)

x

）＜0，
故函數(shù) x•g（x）在（-∞，0）上是遞減函數(shù)，函數(shù) x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
故函數(shù) x•g（x）在（-∞，0）上無零點(diǎn)．
綜上可得，函g(x)=f(x)+

1

x

在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的思想，
屬于中檔題．