Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），不等式|f（x）|≤|2x²+4x-30|對?x∈R恒成立，數(shù)列{a_n}滿足：，，數(shù)列{b_n}滿足：．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n和為S_n，前n的積為T_n，求的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）方程2x²+4x-30=0有兩實根x=-5或x=3…（1分）
由題意知：當(dāng)x=-5時，|f（-5）|≤|2•（-5）²+4•（-5）-30|=0，
又∵|f（-5）|≥0，
∴f（-5）=0…（3分）
∴-5是f（x）的一個零點，同理，3也是f（x）的一個零點，…（4分）
∴f（x）=x²+ax+b=（x-3）（x+5）=x²+2x-15，即a=2，b=-15，
顯然，|x²+2x-15|≤2|x²+2x-15|對x∈R恒成立．
∴a=2，b=-15…（6分）
（Ⅱ）∵a₁=，2a_n=f（a_n-1）+15，
∴2a_n=+2a_n-1=a_n-1（a_n-1+2），n=2，3，4，…（7分）
∴=，n=2，3，4，…，
=，n=1，2，3，…
∴b_n==，…（9分）
T_n=b₁b₂…b_n=••…
=•
=…（10分）
又∵b_n=====-…（12分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（-）+（-）+…+（-）=-=2-…（13分）
∴2ⁿ⁺¹T_n==2-S_n，
∴S_n+2ⁿ⁺¹T_n=2為定值． …（14分）
分析：（Ⅰ）由方程2x²+4x-30=0有兩實根x=-5或x=3可知，∴-5是與-3是函數(shù)f（x）=x²+ax+b的零點，利用韋達(dá)定理即可求得a，b的值；
（Ⅱ）由a₁=，2a_n=f（a_n-1）+15可求得=，結(jié)合已知b_n=可求得b_n=，從而可求得T_n，對b_n=進(jìn)一步轉(zhuǎn)化可得b_n=-，繼而可求得其前n項和S_n，問題即可解決．
點評：本題考查二次函數(shù)的零點，數(shù)列的求和，考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，突出考查累乘法與裂項法求和的應(yīng)用，綜合性強，難度大，考查創(chuàng)新意識與綜合應(yīng)用能力，屬于難題．