Question

如圖，橢圓的中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，A、B分別為長軸和短軸上的一個頂點，當FB⊥AB時，此類橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”；類比“優(yōu)美橢圓”，可推出“優(yōu)美雙曲線”的離心率為________．

Answer 1

分析：首先通過類比，得“優(yōu)美雙曲線”的虛軸一端與左焦點的連線，垂直于該點與右頂點連線．作出示意圖，在RtABF中用射影定理，得b²=ac，結(jié)合雙曲線a、b、c的關系和離心率的定義解一元二次方程，即可得到“優(yōu)美雙曲線”的離心率．
解答：解：根據(jù)“優(yōu)美橢圓”的定義，可得“優(yōu)美雙曲線”的虛軸一端與左焦點的連線，垂直于該點與右頂點連線．如圖，設A是雙曲線右頂點，B是虛軸上端點，F(xiàn)是左焦點
∵△ABF中，F(xiàn)B⊥AB，且AB⊥BF
∴OB²=OA×OF，即b²=ac
因此，c²-a²=ac，兩邊都除以a²并整理，得e²-e-1=0，解之得e=（舍負）
∴“優(yōu)美雙曲線”的離心率為
故答案為：
點評：本題通過“優(yōu)美橢圓”類比到“優(yōu)美雙曲線”，求雙曲線的離心率，著重考查了橢圓和雙曲線基本概念和簡單性質(zhì)，考查了直角三角形中的相似三角形等知識，屬于基礎題．