Question

1．已知函數(shù)f（x）=|2x-3|+ax-6（a是常數(shù)，a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥0的解集；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，不等式f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入a的值，通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為（a-2）x-3＜0，x∈[-1，1]，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=|2x-3|+x-6=$\left\{\begin{array}{l}{3x-9，x≥\frac{3}{2}}\\{-3-x，x＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
故原不等式等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{3}{2}}\\{3x-9≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{3}{2}}\\{-3-x≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≥3或x≤-3，
故原不等式的解集是{x|x≥3或x≤-3}；
（Ⅱ）x∈[-1，1]時(shí)，不等式f（x）＜0恒成立，
即3-2x+ax-6＜0恒成立，
即（a-2）x-3＜0，x∈[-1，1]，
由$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）（-1）-3＜0}\\{（a-2）-3＜0}\end{array}\right.$，
解得：-1＜a＜5，
故a的范圍是（-1，5）．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．