Question

一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表：

溫度x/℃	21	23	25	27	29	32	35
產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)	7	11	21	24	66	115	325

為建立y與x之間的回歸方程，我們采用了兩種回歸模型，得到回歸方程如下：
①

y

=e^0.272x-3.849；②

y

=0.367x²-202.543．
試比較上述兩種擬合模型，闡述其數(shù)據(jù)擬合的基本思想和方法：

Answer 1

考點(diǎn)：線性回歸方程

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：作出兩種回歸模型的散點(diǎn)圖，通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫�性關(guān)系，令z=ln y，則變換后樣本點(diǎn)分布在直線z=bx+a（a=ln c₁，b=ln c₂）的附近，這樣可以利用線性回歸建立y與x的非線性回歸方程了．變換的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，推出回歸直線方程，查看y與x之間的線性回歸方程，推出結(jié)果．

解答： 解：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，作散點(diǎn)圖，如圖．

    從圖中可以看出，樣本點(diǎn)并沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，因此兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系，根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y=c₁ 的附近，其中c₁、c₂為待定的參數(shù)．我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫�性關(guān)系，令z=ln y，則變換后樣本點(diǎn)分布在直線z=bx+a（a=ln c₁，b=ln c₂）的附近，這樣可以利用線性回歸建立y與x的非線性回歸方程了．變換的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合．
    由上表中的數(shù)據(jù)可得到變換的樣本數(shù)據(jù)表，如下表：

x	21	23	25	27	29	32	35
z	1.946	2.398	3.045	3.178	4.190	4.745	5.784

可以求得線性回歸直線方程為

?

y

=0.272x-3.843．
    因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對溫度的非線性回歸方程為

?

y

=e^0.272x-3.843．另一方面，可以認(rèn)為圖中的樣本點(diǎn)集中在某二次曲線y=c₃x²+c₄的附近，其中c₃，c₄為待定參數(shù)，因此可以對溫度變量進(jìn)行變換，即令t=x²，然后建立y與t之間的線性回歸方程，從而得到y(tǒng)與x之間的非線性回歸方程．
    下表是紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和對應(yīng)的溫度的平方的線性回歸模型擬合表，作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖，如圖：

t	441	529	625	729	841	1 024	1 225
y	7	11	21	24	66	115	325

從圖中可以看出，y與t的散點(diǎn)圖并不分布在一條直線的周圍，因此不宜用線性回歸方程來擬合它，即不宜用二次函數(shù)y=c₃x²+c₄來擬合x與y之間的關(guān)系，因此利用

?

y

=e^0.272x-3.843來擬合效果較好．

點(diǎn)評：本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，散點(diǎn)圖以及函數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用，散點(diǎn)圖是否分布在一條直線的周圍，是解題關(guān)鍵．