Question

若f(x)=sin(x+

π

6

)，x∈(0，π)，關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，則sin（x₁+x₂）=

2

2

．

Answer 1

分析：由x∈[0，π]，知

π

6

≤x+

π

4

≤π+

π

6

，所以-

1

2

≤sin(x+

π

6

)≤1，-

1

2

＜m＜1且m≠

2

2

，故a的取值范圍為（-

1

2

，

2

2

）∪（

2

2

，1）．當(dāng)m∈（

2

2

，1）時(shí)，x₁、x₂ 關(guān)于直線x=

π

2

對(duì)稱，x₁+x₂ =

π

4

．當(dāng)a∈（-

1

2

，

2

2

）時(shí)，x₁、x₂ 關(guān)于直線x=

3π

2

 對(duì)稱，x₁+x₂ =

3π

4

．由此能求出sin（x₁+x₂）．

解答：解：∵x∈[0，π]，∴

π

6

≤x+

π

4

≤π+

π

6

，
∴-

1

2

≤sin(x+

π

6

)≤1，
當(dāng)方程f（x）=m有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂時(shí)，-

1

2

＜m＜1且m≠

2

2

，
故a的取值范圍為（-

1

2

，

2

2

）∪（

2

2

，1）．
當(dāng)m∈（

2

2

，1）時(shí)，x₁、x₂ 關(guān)于直線x=

π

2

對(duì)稱，x₁+x₂ =

π

4

．
當(dāng)a∈（-

1

2

，

2

2

）時(shí)，x₁、x₂ 關(guān)于直線x=

3π

2

 對(duì)稱，x₁+x₂ =

3π

4

．
綜上，sin（x₁+x₂）=sin

π

4

=sin

3π

4

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，正弦函數(shù)的值域，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，得到m的取值范圍，是解題的難點(diǎn)．