Question

19．以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①設A，B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|PA|-|PB|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②設圓C：（x-1）²+y²=1，過原點O作圓的任意弦OA，則弦OA中點P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}$=1與橢圓$\frac{x^2}{35}+{y^2}$=1有相同的焦點．
其中真命題的序號為③④．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 ①利用雙曲線的定義中對a，c的要求即可判斷．
②由題意，CP⊥OA，弦OA中點P的軌跡為以OC為直徑的圓；
③方程2x²-5x+2=0的兩根為：2，$\frac{1}{2}$，故可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④求出雙曲線的焦點是（±4，0），橢圓的焦點（±4，0），可得結論．

解答 解：①因為雙曲線的定義中要求k＜|AB|，故①不正確；
②由題意，CP⊥OA，∴弦OA中點P的軌跡為以OC為直徑的圓，故不正確；
③方程2x²-5x+2=0的兩根為：2，$\frac{1}{2}$，故可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，正確；
④∵④中雙曲線的焦點是（±4，0），橢圓的焦點（±4，0），∴④正確．
故答案為：③④．

點評 本題考查了橢圓，雙曲線的定義，及圓錐曲線的共同特征---離心率，考查了學生的靈活把握定義及基礎知識的能了，是個中檔題．