Question

設A（x₁，y₁）、B（4，

9

5

）、C（x₂，y₂）是右焦點為F的橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上三個不同的點，若|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列，則x₁+x₂=

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓方程求出右準線方程、e，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知，用e和點到準線的距離表示出|AF|、|BF|、|CF|，由丨AF丨、丨BF丨、丨CF丨成等差數(shù)列列出方程，化簡求出x₁+x₂的值．

解答： 解：由題意得，橢圓方程是：

x2

25

+

y2

9

=1，
則a=5、b=3，解得c=4，
右準線方程是：x=

a2

c

=

25

4

，e=

c

a

=

4

5

，
由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知，

|AF|

a2 c -x1

=

c

a

，則|AF|=

4

5

(

25

4

-x1)，
同理得：丨BF丨=

4

5

(

25

4

-4)、丨CF丨=

4

5

(

25

4

-x2)，
因為丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差數(shù)列，
所以2丨BF丨=丨AF丨+丨CF丨，
即2×

4

5

(

25

4

-4)=

4

5

(

25

4

-x1)+

4

5

(

25

4

-x2)，
化簡得：x₁+x₂=8，
故答案為：8．

點評：本題主要考查圓錐曲線的統(tǒng)一定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．