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16.已知數(shù)列{an}滿足an+2=\left\{\begin{array}{l}{a_n}+2,n為奇數(shù)\\ 3{a_n},n為偶數(shù)\end{array},且a1=1,a2=2.
(1)求a3-a6+a9-a12+a15的值;
(2)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,當Sn>2017時,求n的最小值.

分析 (1)an+2=\left\{\begin{array}{l}{a_n}+2,n為奇數(shù)\\ 3{a_n},n為偶數(shù)\end{array},且a1=1,a2=2.可得a2n-1=2n-1,a2n=2×3n-1,即可得出:a3-a6+a9-a12+a15=3a9-a6-a12
(2)由(1)可知:an>0,數(shù)列{an}單調(diào)遞增.可得S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=n2+3n-1,
分別求出S12,S13,S14.即可得出.

解答 解:(1)∵an+2=\left\{\begin{array}{l}{a_n}+2,n為奇數(shù)\\ 3{a_n},n為偶數(shù)\end{array},且a1=1,a2=2.
∴a2n-1=1+2(n-1)=2n-1,a2n=2×3n-1,
∴a3-a6+a9-a12+a15=3a9-a6-a12=3×(2×9-1)-2×32-2×35=-477.
(2)由(1)可知:an>0,數(shù)列{an}單調(diào)遞增.
S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=n2+3n-1,
S12=62+36-1=764,S13=S12+a13=777,S14=72+37-1=2235.
∴當Sn>2017時,n的最小值為14.

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、數(shù)列遞推關系、分類討論方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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