考點:根的存在性及根的個數判斷
專題:函數的性質及應用
分析:構造函數f(x)=ax與g(x)=logax,關于y=x對稱,只需要討論與y=x有兩個解即可,構造函數h(x)=ax-x,只須h(x)的最小值小于0,進而得到實數a的取值范圍.
解答:
解:構造函數f(x)=a
x與g(x)=log
ax,關于y=x對稱,只需要討論與y=x有兩個解即可,
令h(x)=a
x-x,則函數h(x)有兩個零點,
當0<a<1時,函數h(x)為減函數,至多有一個零點不滿足要求,
當a>1時,令h′(x)=a
xlna-1=0,則x=
loga,
當0<x<
loga時,h′(x)<0,此時函數h(x)為減函數;
當x>
loga時,h′(x)>0,此時函數h(x)為增函數;
故當x=
loga時,函數h(x)取最小值,
若函數h(x)有兩個零點,則h(
loga)<0,
即
aloga<loga,
即
=logae<loga,
即
e<,
即
0<lna<,
即
1<a<e,
故實數a的取值范圍是(1,e
),
故答案為:(1,e
)
點評:本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷,反函數,導數法判斷函數的單調性,導數法求函數的最值,對數的運算性質,是指數函數,對數函數,函數零點,導數等的綜合應用,運算量大,綜合性可,轉化困難,屬于難題.