Question

14．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx-$\frac{2}{3}$在x=2處的切線方程為x+y-2=0．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)得到f′（x）=x²+2ax+b，這樣根據(jù)函數(shù)在切點處導(dǎo)數(shù)和切線斜率的關(guān)系以及切點在函數(shù)圖象上便可得出關(guān)于a，b的方程組，解出a，b即可；
（Ⅱ）上面已求出a，b，從而可以得出導(dǎo)函數(shù)f′（x），這樣判斷導(dǎo)數(shù)的符號，從而便可得出函數(shù)f（x）的極值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²+2ax+b；
由題意可得，切點為（2，0），切線斜率為k=-1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=\frac{8}{3}+4a+2b-\frac{2}{3}=0}\\{f′（2）=4+4a+b=-1}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由上面得，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）；
∴x＜1時，f′（x）＞0，1＜x＜3時，f′（x）＜0，x＞3時，f′（x）＞0；
∴x=1時，f（x）取極大值$\frac{2}{3}$，x=3時，f（x）取極小值$-\frac{2}{3}$．

點評 考查函數(shù)在函數(shù)圖象上一點的導(dǎo)數(shù)值和過該點切線斜率的關(guān)系，根據(jù)直線的方程能求直線的斜率，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號求函數(shù)極值的方法和過程．