Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a、b、c∈R），且同時滿足：①f（-1）=0；②對任意的實數(shù)x恒有x≤f（x）≤（

x+1

2

） ²成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的表達式；
（3）當x∈[-1，1]時，函數(shù)g（x）=f（x）-mx（m是實數(shù)）是單調函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在給出的不等式中，首先令x=（

x+1

2

） ² ，根據(jù)這個條件可求出f（1）的值．
（2）聯(lián)立f（1）=1，f（-1）=0，即可求出a+c與b的關系式．由f（x）-x≥0恒成立，即：ax²+（b-1）x+c≥0對于一切實數(shù)x恒成立，只有當a＞0，且△=（b-1）²-4ac≤0時，才滿足上述條件，然后結合均值不等式求出a、c的值，由此得解f（x）的表達式．
（3）由于函數(shù)g（x）的對稱軸為x=2m-1，在[-1，1]上是單調函數(shù)，故有 2m-1≥1，或2m-1≤-1，由此求得m的取值范圍．

解答：解：（1）當 （

x+1

2

） ² =x，即 x=1時，則由②可得 1≤f（1）≤1，∴f（1）=1．
（2）由f（1）=1且f（-1）=0可得：

a+b+c=1 a-b+c=0

，∴a+c=b=

1

2

．
∵對于一切實數(shù)x，f（x）-x≥0恒成立，∴ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），對于一切實數(shù)x恒成立，
∴

a＞0 △=(b-1)2-4ac≤0

，即 

a＞0 ac≥ 1 16

．
∵a+c=

1

2

，且a+c≥2

ac

=2×

1 16

=

1

2

，∴當且只有當a=c=

1

4

時，不等式成立．
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．
（3）∵當x∈[-1，1]時，函數(shù)g（x）=f（x）-mx=

1

4

x²+（

1

2

-m）x+

1

4

 是單調函數(shù)，
它的對稱軸為x=

m- 1 2

1 2

=2m-1，故有 2m-1≥1，或2m-1≤-1．
解得 m≥1，或 m≤0，故m的取值范圍為[1，+∞）∪（-∞，0]．

點評：此題考查的是二次函數(shù)解析式的求法，題中還涉及了二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)與不等式的聯(lián)系以及均值不等式的應用，難度較大；解題的關鍵是從不等式中找出f（x）的一個定值以及抓住不等式恒成立的條件．