Question

15．已知兩個不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，兩組向量$\overrightarrow{{x}_{1}}$，$\overrightarrow{{x}_{2}}$，$\overrightarrow{{x}_{3}}$，$\overrightarrow{{x}_{4}}$，$\overrightarrow{{x}_{5}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}$，$\overrightarrow{{y}_{2}}$，$\overrightarrow{{y}_{3}}$，$\overrightarrow{{y}_{4}}$，$\overrightarrow{{y}_{5}}$均由2個$\overrightarrow{a}$和3個$\overrightarrow$排列而成，記S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$+$\overrightarrow{{x}_{5}}$•$\overrightarrow{{y}_{5}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值．則下列命題正確的是 （　�。�
①S有5個不同的值；
②若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則S_min與|$\overrightarrow{a}$|無關；
③若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則S_min與|$\overrightarrow$|無關；
④若|$\overrightarrow$|＞4|$\overrightarrow{a}$|，則S_min＞0；
⑤若|$\overrightarrow$|=4|$\overrightarrow{a}$|，S_min=8|$\overrightarrow{a}$|²，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{4}$．

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 求出S的三種結果，得出S_min，對②③④⑤進行分析得出答案．

解答 解：①∵x_i，y_i（i=1，2，3，4，5）均由2個$\overrightarrow{a}$和3個$\overrightarrow$排列而成，
∴S=x_iy_i可能情況有三種：①S=2$\overrightarrow{a}$²+3$\overrightarrow$²；②S=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+2${\overrightarrow}^{2}$；③S=4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$．故①錯誤；
②∵S₁-S₂=S₂-S₃=${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≥${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$-2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|=（|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|）²≥0，
∴S中最小為S₃；
若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則S_min=S₃=${\overrightarrow}^{2}$，與|$\overrightarrow{a}$|無關，故②正確；
③若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則S_min=S₃=4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²，與|$\overrightarrow$|有關，故③錯誤；
④若|$\overrightarrow$|＞4|$\overrightarrow{a}$|，則S_min=S₃=4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ+$\overrightarrow$²＞-4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|+$\overrightarrow$²＞-|$\overrightarrow$|²+$\overrightarrow$²=0，故④正確；
⑤若|$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|，S_min=S₃=8|$\overrightarrow{a}$|²cosθ+4|$\overrightarrow{a}$|²=8|$\overrightarrow{a}$|²，
∴2cosθ=1，∴θ=$\frac{π}{3}$，
即$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．
綜上所述，命題正確的是②④，
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查平面向量的數量積的綜合應用，考查推理、分析與運算的綜合應用，屬于難題．