Question

11．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{4}{x}$，$g（x）={log_a}（{{x^2}-2x+3}）$，其中a＞0，且a≠1．
（Ⅰ）用定義證明函數(shù)f（x）在[2，+∞）是增函數(shù)；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x₀∈[2，4]，總存在x₁∈[0，3]，使得f（x₀）=g（x₁）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)2≤x₁＜x₂，計(jì)算f（x₁）-f（x₂），判斷f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，得出結(jié)論，
（Ⅱ）問(wèn)題等價(jià)于f（x）的值域?yàn)間（x）的值域的子集，利用導(dǎo)數(shù)可分別求得兩函數(shù)的值域，根據(jù)集合包含關(guān)系可得不等式組，解出即可

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)2≤x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{4}{{x}_{2}}$）=x₁-x₂+$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$）
∵2≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）設(shè)t（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴t（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，（1，3]上單調(diào)遞減，
∴t（x）∈[2，6]，
當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）的值域?yàn)閇log_a2，log_a6]，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）的值域?yàn)閇log_a6，log_a2]
由（Ⅰ）知f（x）∈[4，5]，
∵任意的x₀∈[2，4]，總存在x₁∈[0，3]，使得f（x₀）=g（x₁）成立，
當(dāng)a＞1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}2≤4}\\{lo{g}_{a}6≥5}\end{array}\right.$，解得${2}^{\frac{1}{4}}$≤a≤${6}^{\frac{1}{5}}$，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}6≤4}\\{lo{g}_{a}2≥5}\end{array}\right.$，此時(shí)無(wú)解，
綜上所述a的取值范圍為$[{2^{\frac{1}{4}}}，{6^{\frac{1}{5}}}]$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義證明，考查分類討論思想轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．