Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

n

3

（a_n+2），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，配方得出a_n+1+2=2（a_n+2），可得{a_n+2}構(gòu)成2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式結(jié)合題中的數(shù)據(jù)，即可算出{a_n}的通項公式；
（II）由（I）的計算結(jié)果，可得b_n=n•2^n-1，利用錯位相減法結(jié)合等比數(shù)列的求和公式化簡，即可得到數(shù)列{b_n}的前n項和S_n的表達(dá)式．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+2，∴a_n+1+2=2（a_n+2）
由此可得數(shù)列{a_n+2}構(gòu)成以a₁+2=3為首項，公比q=2的等比數(shù)列
得a_n+2=3•2^n-1，所以a_n=3•2^n-1-2，即為數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）∵b_n=

n

3

（a_n+2），
∴b_n=

n

3

•（3•2^n-1），得b_n=n•2^n-1
因此，S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，--------①
兩邊都乘以2，得
2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，--------②
①-②，得
-S_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1．

點評：本題求一個數(shù)列的通項公式，并依此求另一個前n項和．著重考查了等比數(shù)列的通項公式、求和公式，考查了錯位相減法求和的知識，屬于中檔題．