Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁ C₁中，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=2，AC=2

2

，E，F(xiàn)分別是A₁B，BC的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面A A_lC_lC；
（Ⅱ）證明：平面A₁ABB₁⊥平面BEC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)A₁C₁，由三角形中位線定理得EF∥A₁C₁，由此能證明EF∥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）在△ABC中，由勾股定理得BC⊥AB，線面垂直得AA₁⊥BC，由此能證明平面A₁ABB₁⊥平面BEC．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)A₁C，
∵E，F(xiàn)分別為A₁B、BC的中點，
∴EF∥A₁C，
∵EF不包含于平面AA₁C₁C，A₁C?平面AA₁C₁C，
∴EF∥平面AA₁C₁C．
（Ⅱ）在△ABC中，AB=BC=AA₁=2，AC=2

2

，
∴AB²+BC²=AC²，∴BC⊥AB，
∵AA₁⊥面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
∵AB∩A₁A=A，
∴BC⊥平面AA₁B₁B，
∵BC?平面BEC，
∴平面A₁ABB₁⊥平面BEC．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．