Question

現有一組互不相同且從小到大排列的數據a，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a=0．記T=a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，，（n=0，1，2，3，4，5），作函數y=f（x），使其圖象為逐點依次連接點P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，4，5）的折線．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）設直線P_n-1P_n的斜率為k_n（n=1，2，3，4，5），判斷k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小關系；
（Ⅲ）證明：當x∈（0，1）時，f（x）＜x．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）結合已知代入可求f（0）=，f（1）=即可求解
（Ⅱ）由題意可得，，結合已知a＜a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，可判斷
（Ⅲ）要證明f（x）＜x（0＜x＜1），只需證明f（x_n）＜x_n，
法一：可證5（a₁+a₂+…+a_n）=[n+（5-n）]（a₁+a₂+…+a_n）＜nT，即可證明
法二：k_n＜1時，y_n=（y₁-y）+（y₂-y₁）+…+（y_n-y_n-1）
當k_n≥1時，y_n=y₅-（y₅-y_n）=1-[（y_n+1-y_n）+（y_n+2-y_n+1）+…+（y₅-y₄）]可證明
解答：（Ⅰ）解：，…（2分）
；   …（4分）
（Ⅱ）解：，n=1，2，3，4，5．   …（6分）
因為 a＜a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
所以 k₁＜k₂＜k₃＜k₄＜k₅．           …（8分）
（Ⅲ）證：由于f（x）的圖象是連接各點P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，4，5）的折線，
要證明f（x）＜x（0＜x＜1），只需證明f（x_n）＜x_n（n=1，2，3，4）．…（9分）
事實上，當x∈（x_n-1，x_n）時，==x．
下面證明f（x_n）＜x_n．
法一：對任何n（n=1，2，3，4），5（a₁+a₂+…+a_n）=[n+（5-n）]（a₁+a₂+…+a_n）…（10分）=n（a₁+a₂+…+a_n）+（5-n）（a₁+a₂+…+a_n）≤n（a₁+a₂+…+a_n）+（5-n）na_n…（11分）=n[a₁+a₂+…+a_n+（5-n）a_n]＜n（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1+…+a₅）=nT…（12分）
所以 ．…（13分）
法二：對任何n（n=1，2，3，4），
當k_n＜1時，y_n=（y₁-y）+（y₂-y₁）+…+（y_n-y_n-1）=；…（10分）
當k_n≥1時，y_n=y₅-（y₅-y_n）=1-[（y_n+1-y_n）+（y_n+2-y_n+1）+…+（y₅-y₄）]=．
綜上，f（x_n）＜x_n．           …（13分）
點評：本題以新定義為載體，主要考查了數列的求和及一定的推理與運算的能力，試題具有一定的綜合性