Question

若數(shù)列1，2cosθ，2²cos²θ，2³cos³θ，…，前100項之和為0，則θ的值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的求值

分析：直接由等比數(shù)列的前n項和公式列式得到

1-(2cosθ)100=0 1-2cosθ≠0

，求出cosθ=-

1

2

，則θ的值可求．

解答： 解：∵1，2cosθ，2²cos²θ，2³cos³θ，…為等比數(shù)列，首項為1，公比為2cosθ，
由等比數(shù)列的前n項和公式可得，
S₁₀₀=1+2cosθ+（2cosθ）²+…+（2cosθ）⁹⁹
=

1-(2cosθ)100

1-2cosθ

=0，
由題意可得，

1-(2cosθ)100=0 1-2cosθ≠0

，
∴2cosθ=-1 即cosθ=-

1

2

．
∴θ=2kπ±

2π

3

，k∈Z．
故答案為：2kπ±

2π

3

（k∈Z）．

點評：本題考查了等比數(shù)列的前n項和公式，考查了三角函數(shù)的求值，是中檔題．