Question

某大隊(duì)在農(nóng)田基本建設(shè)的規(guī)劃中，要測定被障礙物隔開的兩點(diǎn)A和P之間的距離，他們土法上馬，在障礙物的兩側(cè)，選取兩點(diǎn)B和C（如圖），測得AB=AC=50 m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之間的距離（答案可用最簡根式表示）．

Answer 1

分析：連CB，AP根據(jù)∠CAB=60°和AC=AB判定△ABC為等邊三角形．進(jìn)而可求得∠BCP，∠CBP和∠BPC，再通過正弦定理進(jìn)而可求得CP，再在△APC中用余弦定理求得AP．

解答：解：連CB，AP．
∵∠CAB=60°，
AC=AB=50m，
∴△ABC為等邊三角形．
于是，∠BCP=135°-60°=75°，
∠CBP=120°-60°，
∠BPC=180°-（75°+60°）=45°
由正弦定理，得

CP

sin∠CBP

=

CB

sin∠BPC

CP=

CB•sin∠CBP

sin∠BPC

=

50•sin60°

sin45°

=

50• 3 2

2 2

=25

6

(m)
由余弦定理，可得AP²=AC²+CP²-2•AC•CP•cos135°
=502+(25

6

)2-2•50•25

6

•(-

2

2

)
=625(10+4

3

)(m2)
AP=

625(10+4 3 )

=25

10+4 3

（m）
故A、P兩點(diǎn)間的距離是25

10+4 3

米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理和余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．