Question

12．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)是F，過點(diǎn)F的直線與拋物線C相交于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q在第一象限，若2$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{FQ}$，則直線PQ的斜率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 過點(diǎn)P，Q分別作拋物線的準(zhǔn)線l：x=-1的垂線，垂足分別是P₁、Q₁，由拋物線的|Q₁Q|=|QF|定義可知，|P₁P|=|FP|，設(shè)|PF|=k（k＞0），則|FQ|=2k，在直角△PRQ中求解直線PQ的傾斜角即可求得直線PQ斜率．

解答 解：過點(diǎn)P，Q分別作拋物線的準(zhǔn)線l：x=-1的垂線，垂足分別是P₁、Q₁，
由拋物線的定義可知，|Q₁Q|=|QF|，|P₁P|=|FP|，
設(shè)|PF|=k（k＞0），2$\overrightarrow{PF}$=$\overrightarrow{FQ}$，則|FQ|=2k，|PQ|=3k，又過點(diǎn)P作PR⊥Q₁Q于點(diǎn)R，
則在直角△PRQ中，|RQ|=k，|PQ|=3k，
丨PR丨=$\sqrt{丨PQ{丨}^{2}-丨QR{丨}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
由∠PQR與直線QP的傾斜角相等，
則直線PQ的斜率k=tan∠PQR=$\frac{丨PR丨}{丨QR丨}$=2$\sqrt{2}$，
∴直線PQ的斜率是2$\sqrt{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)及拋物線定義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及計算能力，屬于中檔題．