Question

已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)-

x2

1+x

，g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x．
（1）證明：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）＜0；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）研究g（x）＜0，轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)g（x）的最大值，從而研究g′（x）的符號(hào)，求出g′（x）的最小值，得到g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，求出g（x）的最大值即可．
（2）連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來確定極值即可．

解答：解：（1）g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，
則g′（x）=2ln（1+x）-2x．
令h（x）=2ln（1+x）-2x，
則h′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

．（1分）
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)．
當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．（3分）
所以h（x）在x=0處取得極大值，而h（0）=0，
所以g′（x）＜0（x≠0），
函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．（4分）
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜g（0）=0．（5分）
（2）函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞），
f′(x)=

2ln(1+x)

1+x

-

x2+2x

(1+x)2

=

2(1+x)ln(1+x)-x2-2x

(1+x)2

，（6分）
由（1）知，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x＞g（0）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＜g（0）=0，所以，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，
f′（x）＞0∴f（x）在（-1，0）上為增函數(shù)．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．（8分）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），
單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．故x=0時(shí)f（x）有極大值0．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及不等式轉(zhuǎn)化成恒成立問題，屬于難題．