Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin（{ωx+ω}）-cos（{ωx+ω}）（{-\frac{π}{2}＜φ＜0，ω＞0}）$為偶函數(shù)，且函數(shù)的y=f（x）圖象相鄰的兩條對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求$f（{\frac{π}{24}}）$的值；
（2）將y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，再將所得的圖象上個點的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）的單調(diào)區(qū)間，并求其在$[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）通過兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)是偶函數(shù)求出φ，然后求解$f（{\frac{π}{24}}）$的值．
（2）由函數(shù)圖象的變換可求g（x）=-2cos（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$），利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可求y=g（x）的單調(diào)區(qū)間，由x∈$[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），…1分
因為函數(shù)是偶函數(shù)，
所以φ-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{π}{3}$．
函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
所以T=π，T=$\frac{2π}{ω}$=π，所以ω=2；
f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-2cos2x，…5分
則f（$\frac{π}{24}$）=-2cos（2×$\frac{π}{24}$）=-2cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，…6分
（2）由函數(shù)圖象的變換可知，y=g（x）=-2cos（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$），…8分
由2kπ≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，解得：4kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{8π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[4kπ+$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{8π}{3}$]k∈Z，
由2kπ+π≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π，k∈Z，解得：4kπ+$\frac{8π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{14π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[4kπ+$\frac{8π}{3}$，4kπ+$\frac{14π}{3}$]k∈Z，…10分
∵x∈$[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$，
∴結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知：
當(dāng)$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$=0，即x=$\frac{2π}{3}$時，y=g（x）最小值為-2…11分
當(dāng)$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{3}$時，y=g（x）最大值為0…12分

點評 本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式，周期公式，三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．