Question

15．若2f（x）+f（-x）=x³+x+3對(duì)x∈R恒成立，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為13x-y-15=0．

Answer 1

分析 將x換為-x，原式即為2f（-x）+f（x）=-x³-x+3，解出f（x），求出導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求切線的方程．

解答 解：由2f（x）+f（-x）=x³+x+3，
可得2f（-x）+f（x）=-x³-x+3，
解得f（x）=x³+x+1，
可得導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+1，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為k=3×4+1=13，
切點(diǎn)為（2，11），
即有曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-11=13（x-2），
即為13x-y-15=0．
故答案為：13x-y-15=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查函數(shù)解析式的求法，注意運(yùn)用函數(shù)方程法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．