Question

如圖所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上任意一點(diǎn)，過A作AE⊥PC于點(diǎn)E，AF⊥PB于點(diǎn)F，求證：
（1）AE⊥平面PBC；
（2）平面PAC⊥平面PBC；
（3）PB⊥EF．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)底面是圓，得到BC⊥AC，再根據(jù)PA⊥平面ABC得到PA⊥BC，最后綜合即可證明AE⊥平面PBC；
（2）利用面面垂直的判定定理，即可證明平面PAC⊥平面PBC；
（3）證明PB⊥平面AEF，即可證明PB⊥EF．

解答： 證明：（1）因?yàn)锳B是⊙O的直徑，
所以∠ACB=90°，即AC⊥BC．
又因?yàn)镻A⊥⊙O所在平面，即PA⊥平面ABC．
又BC?平面ABC，所以BC⊥PA．
又因?yàn)锳C∩PA=A，所以BC⊥平面PAC．
因?yàn)锳E?平面PAC，所以BC⊥AE．
又已知AE⊥PC，PC∩BC=C，
所以AE⊥平面PBC．
（2）因?yàn)锳E⊥平面PBC，且AE?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC．
（3）因?yàn)锳E⊥平面PBC，且PB?平面PBC，
所以AE⊥PB．
又AF⊥PB于點(diǎn)F，且AF∩AE=A，
所以PB⊥平面AEF．
又因?yàn)镋F?平面AEF，所以PB⊥EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中熟練掌握空間線面垂直、面面垂直、線線垂直之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵．