Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n∈N^*，n≥2時(shí)，a_n=

an-1

an-1+1

，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

1

n

．

Answer 1

分析：數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n∈N^*，n≥2時(shí)，a_n=

an-1

an-1+1

，故a2=

1

1+1

=

1

2

，a3=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，由此猜想，an=

1

n

．由數(shù)學(xué)歸納法能夠進(jìn)行證明．

解答：解：數(shù)列{a_n}中，a₁=1，
當(dāng)n∈N^*，n≥2時(shí)，a_n=

an-1

an-1+1

，
∴a2=

1

1+1

=

1

2

，
a3=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
由此猜想，an=

1

n

．
由數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
①n=1時(shí)，a1=

1

1

=1，成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，成立，即ak=

1

k

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=

1 k

1 k +1

=

1

k+1

，也成立，
由①②知，an=

1

n

．
故答案為：

1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行猜想和數(shù)學(xué)歸納法的靈活運(yùn)用．