Question

2．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響．對近8年的年宣傳費x_i和年銷售量y_i（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{8}（{w}_{i}-\overline{w}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）（y1-$\overline{y}$）	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

其中w_i=$\sqrt{{x}_{i}}$，$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$w_i
（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x．根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題，當(dāng)年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？
附：對于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估計分別為：$\stackrel{∧}{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{α}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由散點圖可知y=c+d$\sqrt{x}$宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程的類型，
（Ⅱ）ω=$\sqrt{x}$，建立y關(guān)于ω的線性回歸方程，利用最小二乘法公式求得$\widehat1616666$和$\widehat{c}$，即可求得y關(guān)于x的線性回歸方程；
（Ⅲ）將x=49，代入（Ⅱ）的線性回歸方程求得$\widehat{y}$，即可求得年利潤z的預(yù)報值$\widehat{z}$．

解答 解：（Ⅰ）由散點圖可知y=c+d$\sqrt{x}$宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程的類型，
（Ⅱ）令ω=$\sqrt{x}$，建立y關(guān)于ω的線性回歸方程，
由于$\widehat1116116$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{ω}_{i}-\overline{ω}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{ω}_{i}-\overline{ω}）^{2}}$=$\frac{108.8}{1.6}$=68，
$\widehat{c}$=$\overline{y}$-$\widehat6661166$•$\overline{ω}$=563-68×6.8=100.6，
∴y關(guān)于ω的線性回歸剛才為$\widehat{y}$=100.6+68ω，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$，
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)x=49，年銷售量y的預(yù)報值$\widehat{y}$=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
年利潤z的預(yù)報值$\widehat{z}$=576.6×0.2-49=66.32．

點評 本題主要考查了線性回歸方程和散點圖的問題，準(zhǔn)確的計算是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．