Question

如圖所示，函數(shù)y=2sin（ωx+ϕ）（x∈R，ω＞0，0≤ϕ≤

π

2

）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，

3

），且該函數(shù)的最小正周期為π．
（1）求ω和ϕ的值；
（2）已知點(diǎn)A（

π

2

，0），點(diǎn)P是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)Q（x₀，y₀）是PA的中點(diǎn)，當(dāng)y₀=

3

2

，x0∈[

π

2

，π]時，求x₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）點(diǎn)（0，

3

）在函數(shù)y=2sin（ωx+ϕ）（x∈R，ω＞0，0≤ϕ≤

π

2

）的圖象上，從而可解得ϕ的值，由該函數(shù)的最小正周期為π，ω＞0從而可求出ω的值．
（2）A（

π

2

，0），點(diǎn)Q（x₀，y₀）是PA的中點(diǎn)，從而求出P的坐標(biāo)為（2x₀-

π

2

，2y₀）．P是y=2sin(2x+

π

3

)的圖象上一點(diǎn)，y₀=

3

2

，x0∈[

π

2

，π]，從而求出x₀的值．

解答： 解：（1）將x=0，y=

3

代入函數(shù)y=2sin（ωx+ϕ）中，
得sin ϕ=

3

2

，因?yàn)?≤ϕ≤

π

2

，所以ϕ=

π

3

．
由已知T=π，且ω＞0，得ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A（

π

2

，0），Q（x₀，y₀）是PA的中點(diǎn)，y₀=

3

2

，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2x₀-

π

2

，2y₀）．
又因?yàn)辄c(diǎn)P在y=2sin(2x+

π

3

)的圖象上，且

π

2

≤x₀≤π，
所以sin(4x0-

2π

3

)=

3

2

，且

4π

3

≤4x₀-

2π

3

≤

10π

3

，
從而得4x₀-

2π

3

=

13π

6

，或4x₀-

2π

3

=

17π

6

，
即x₀=

17π

24

，或x₀=

21π

24

．

點(diǎn)評：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式、圖象及性質(zhì)，屬于中檔題．