Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x，x∈R．
（1）若對(duì)于任意x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）≥a成立，求a的取值范圍；
（2）若先將y=f（x）的圖象上每個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，然后再向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）-$\frac{1}{3}$在區(qū)間[-2π，4π]內(nèi)的所有零點(diǎn)之和．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由恒成立只需f_min（x）≥a即可，求三角函數(shù)區(qū)間的最值可得；
（2）由函數(shù)圖象變換可得g（x）=sinx，可得g（x）-$\frac{1}{3}$=0的零點(diǎn)，由三角函數(shù)的對(duì)稱性可得．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，可得：2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∵若對(duì)任意x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）≥a成立，則只需f_min（x）≥a即可．
∴可得：a∈（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
（2）若先將y=f（x）的圖象上每個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得函數(shù)解析式為y=sin（x-$\frac{π}{6}$），
再向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）=sinx，
由g（x）-$\frac{1}{3}$=0得sinx=$\frac{1}{3}$，
由圖可知sinx=$\frac{1}{3}$在[-2π，4π]上有6個(gè)零點(diǎn)：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆．
根據(jù)對(duì)稱性有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3π}{2}$，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=$\frac{π}{2}$，$\frac{{x}_{5}+{x}_{6}}{2}$=$\frac{5π}{2}$，
∴所有零點(diǎn)和為x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=3π．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及和差角的三角函數(shù)公式，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．