已知橢圓C中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大值為，最小值為．    

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（不是左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

（Ⅰ）（Ⅱ）直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為


解析:

（Ⅰ）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，半焦距為，則

      解得 

∴ 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為   ．     ………………… 4分

（Ⅱ）由方程組   消去，得

   

由題意：△   

整理得：    ① ……7分

設(shè)，則

， ………………… 8分

由已知， ， 且橢圓的右頂點(diǎn)為

∴　　　　　………………… 10分

即 

也即 

整理得：

解得：   或 ，均滿足①   ……………………… 12分

當(dāng)時(shí)，直線的方程為 ，過定點(diǎn)，舍去

當(dāng)時(shí)，直線的方程為 ，過定點(diǎn)，

故，直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為．……………………… 14分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大值為3，最小值為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N（M、N不是左、右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)A．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，短軸長(zhǎng)為2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N（M、N不是橢圓的左、右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)A．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=
3
2
x與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是M，點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓C的右焦點(diǎn)F2，橢圓C另一個(gè)焦點(diǎn)是F1，且
MF1
•
MF2
=
9
4
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l過點(diǎn)（-1，0），且與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求△F2PQ的內(nèi)切圓面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上．若橢圓上的點(diǎn)A（1，
3
2
）到焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)P（1，
1
4
）的直線與橢圓交于兩點(diǎn)D、E，若|DP|=|PE|，求直線DE的方程；
（3）過點(diǎn)Q（1，0）的直線與橢圓交于兩點(diǎn)M、N，若△OMN面積取得最大值，求直線MN的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（-2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是2：
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在斜率為
3
2
的直線l，使直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且原點(diǎn)O與直線l的距離等于4；若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

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