Question

如圖，在三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等邊三角形，AB=2，AA₁=

10

，A₁B⊥AC，且A₁B=2

3

，D是AC的中點．
（1）求證：A₁C=A₁A；
（2）求二面角A₁-AC-B的度數(shù)．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AC⊥BD，A₁B⊥AC，從而AC⊥平面A₁BD，進而AC⊥A₁D，由此能證明A₁C=A₁A．
（2）由已知∠A₁DB是二面角A₁-AC-B的平面角，結(jié)合已知條件利用勾股定理能推導出A₁D⊥BD，由此求出二面角A₁-AC-B的平面角為90°．

解答： （1）證明：在三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，
∵△ABC為等邊三角形，D是AC的中點，
∴AC⊥BD，
又∵A₁B⊥AC，A₁B∩BD=B，
∴AC⊥平面A₁BD，
∵A₁D?平面A₁BD，∴AC⊥A₁D，
∵D是AC的中點，∴A₁C=A₁A．
（2）解：∵A₁C=A₁A，△ABC為等邊三角形，D是AC的中點，
∴A₁D⊥AC，BD⊥AC，
∴∠A₁DB是二面角A₁-AC-B的平面角，
∵△ABC為等邊三角形，AB=2，AA₁=

10

，
A₁B⊥AC，且A₁B=2

3

，D是AC的中點．
∴A1D2=AA12-AD2=10-1=9，
BD²=AB²-AD²=4-1=3，A1B2=12，
∴A1D2+BD2=A1B2，∴A₁D⊥BD，
∴二面角A₁-AC-B的平面角為90°．

點評：本題考查兩線段相等的證明，考查二面角的平面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．