Question

13．已知P，Q為動直線y=m（0＜m＜$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）與y=sinx和y=cosx在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的左，右兩個交點，P，Q在x軸上的投影分別為S，R．當(dāng)矩形PQRS面積取得最大值時，點P的橫坐標(biāo)為x₀，則（　　）

• A． ${x_0}＜\frac{π}{8}$
• B． ${x_0}=\frac{π}{8}$
• C． $\frac{π}{8}＜{x_0}＜\frac{π}{6}$
• D． ${x_0}＞\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 由題意知，P與Q關(guān)于直線$x=\frac{π}{4}$對稱，設(shè)P（x，sinx），則矩形PQRS的面積為S（x）=（$\frac{π}{2}$-2x）•sinx，（0＜x＜$\frac{π}{4}$），再利用導(dǎo)數(shù)求得矩形面積S（x）的最大值．

解答 解：由題意知，P與Q關(guān)于直線$x=\frac{π}{4}$對稱，設(shè)P（x，sinx），則$Q（\frac{π}{2}-x，sinx）$，∴$S（x）=（\frac{π}{2}-2x）sinx（0＜x＜\frac{π}{4}）$，
∴${S^'}（x）=-2sinx+（\frac{π}{2}-2x）cosx$，∴S^″=-4cosx-（$\frac{π}{2}$-2x）sinx，
∵$0＜x＜\frac{π}{4}$，∴S''（x）＜0，∴S′（x）在區(qū)間$（0，\frac{π}{4}）$上單調(diào)遞減，
且${S^'}（0）=\frac{π}{2}＞0$，${S^'}（\frac{π}{4}）=-\sqrt{2}＜0$，
∴S′（x）在區(qū)間$（0，\frac{π}{4}）$存在唯一零點，即為x₀．
令S′（x₀）=0得：$2sin{x_0}=（\frac{π}{2}-2{x_0}）cos{x_0}$，即$tan{x_0}=\frac{π}{4}-{x_0}$．
由不等式$tan{x_0}＞{x_0}（0＜{x_0}＜\frac{π}{2}）$得：$\frac{π}{4}-{x_0}＞{x_0}$，解得：${x_0}＜\frac{π}{8}$，
故選：A．

點評 考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、零點、不等式等，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．