Question

已知函數f（x）=log₂（|x-1|+|x-3|-1）
（1）當a=2時，求函數f（x）的最小值；
（2）當函數f（x）的定義域為R時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：函數定義域滿足：|x-1|+|x-3|-a＞0，即|x-1|+|x-3|＞a，利用去絕對值化簡g（x）=|x-1|+|x-3|=

2x-4，x≥3 2，1＜x＜3 4-2x，x≤1

解答： 解：（1）函數定義域滿足：|x-1|+|x-3|-a＞0，
即|x-1|+|x-3|＞a，
設g（x）=|x-1|+|x-3|=

2x-4，x≥3 2，1＜x＜3 4-2x，x≤1

g（x）_min=2，
f（x）=log₂（|x-1|+|x-3|-1）≥log

(2-1) 2

=0
故函數f（x）的最小值為0．
（2）由（1）知g（x）=|x-1|+|x-3|=

2x-4，x≥3 2，1＜x＜3 4-2x，x≤1

g（x）_min=2，∴a＜2，
即實數a的取值范圍為：（-∞，2）

點評：本題考查了函數的性質，概念，運用求變量的范圍問題，屬于容易題．