如圖,圓柱OO內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC—A
,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形,且AB是圓O直徑。
(1)證明:平面平面
;
(2)設(shè)AB=AA,在圓柱OO
內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn),記該點(diǎn)取自三棱柱ABC—A
B
內(nèi)的概率為P.
①當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí),求的最大值;
②記平面與平面
所成的角為
,當(dāng)
取最大值時(shí),求
的值。
(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123554026567287/SYS201205212356530312549203_DA.files/image001.png">平面ABC,
平面ABC,所以
,
因?yàn)锳B是圓O直徑,所以,又
,所以
平面
,
而平面
,所以平面
平面
。
(2)(i)設(shè)圓柱的底面半徑為,則AB=
,故三棱柱
的體積為
=
,又因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123554026567287/SYS201205212356530312549203_DA.files/image016.png">,
所以=
,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號(hào)成立,
從而,而圓柱的體積
,
故=
當(dāng)且僅當(dāng)
,即
時(shí)等號(hào)成立,
所以的最大值是
。
(ii)由(i)可知,取最大值時(shí),
,于是以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系
(如圖),則C(r,0,0),B(0,r,0),
(0,r,2r),
因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123554026567287/SYS201205212356530312549203_DA.files/image004.png">平面
,所以
是平面
的一個(gè)法向量,
設(shè)平面的法向量
,由
,故
,
取得平面
的一個(gè)法向量為
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052123554026567287/SYS201205212356530312549203_DA.files/image035.png">,
所以。
【解析】略
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