Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x+a+2b-1是R上的奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求f′（2）+f′（-2）的值；
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先，根據(jù)f（-x）=-f（x），得到2bx²+2（a+2b-1）=0，然后，求解即可；
（2）首先，求解導(dǎo)數(shù)，然后，求解其值；
（3）直接結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解其單調(diào)區(qū)間即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x+a+2b-1是R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴2bx²+2（a+2b-1）=0，
∴

2b=0 a+2b-1=0

，
∴

a=1 b=0

，
∴f（x）=x³-3x．
（2）根據(jù)（1）得
f′（x）=3x²-3，
∴f′（2）=9，f′（-2）=9，
∴f′（2）+f′（-2）=18，
（3）令f′（x）=3x²-3＞0，
∴x＜-1 或 x＞1，
∴單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-1），（1，+∞），
令f′（x）=3x²-3＜0，
∴-1＜x＜1，
∴單調(diào)減區(qū)間為：（-1，1）．

點評：本題重點考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等知識，屬于中檔題．