Question

（本題14分）已知函數(shù)f （x） = ax³ +x² -ax，其中a，x∈R．

（Ⅰ）若函數(shù)f （x） 在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)，試求a的取值范圍；

（Ⅱ）直接寫出（不需給出運(yùn)算過程）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅲ）如果存在a∈（-∞，-1]，使得函數(shù)， x∈[-1, b]（b > -1），在x = -1處取得最小值，試求b的最大值．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）解法一：

依題意知方程在區(qū)間（1，2）內(nèi)有不重復(fù)的零點(diǎn)，

由得 

∵x∈（1，2），  ∴

∴；

令   （x∈（1，2）），則，

∴在區(qū)間（1，2）上是單調(diào)遞增函數(shù)，其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052518031818754819/SYS201205251804535625764849_DA.files/image009.png">，

故a的取值范圍是．             ………………………5分

解法二：

依題意知方程即在區(qū)間（1，2）內(nèi)有不重復(fù)的零點(diǎn)，

當(dāng)a=0時(shí)，得 x=0，但0（1，2）；

當(dāng)a≠0時(shí)，方程的△=1+12a²>0，,必有兩異號(hào)根，

欲使f （x） 在區(qū)間（1，2）上不是單調(diào)函數(shù)，方程在（1，2）內(nèi)一定有一根，設(shè)，則F（1）·F（2）<0，

即  （2a+2）（11a+4）<0，解得 ，

故 a的取值范圍是 ．     

（解法二得分標(biāo)準(zhǔn)類比解法一）

（Ⅱ）函數(shù)g （x） 的定義域?yàn)椋?，+∞），

當(dāng) a≥0時(shí)，g （x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng) a<0時(shí)，g （x）的單調(diào)遞減區(qū)間是  ………………8分

（Ⅲ）；

依題意 在區(qū)間[-1, b]上恒成立，

即      ①

當(dāng)x∈[-1, b] 恒成立，

當(dāng) x=-1時(shí)，不等式①成立；

當(dāng) -1< x ≤b時(shí)，不等式①可化為

    ②

令 ，由a∈（-∞,-1]知，的圖像是

開口向下的拋物線，所以，在閉區(qū)間上的最小值必在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，

而，

∴不等式②恒成立的充要條件是，

即，

亦即   a∈（-∞,-1]；

當(dāng)a∈（-∞,-1]時(shí)，，

∴  （b >-1），  即 b²+b-4 ≤ 0；

解得 ；

但b >-1， ∴；

故 b的最大值為，此時(shí) a =-1符合題意．     ……………14分

【解析】略