Question

5．已知曲線C的極坐標方程是ρ-2sinθ=0，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l過點M（1，0），傾斜角為$\frac{2π}{3}$．
（1）求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數方程；
（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：ρ-2sinθ=0可化為：ρ²-2ρsinθ=0，故曲線C的直角坐標方程為：x²+y²-2y=0，配方可得C的標準方程；
根據直線l過點M（1，0），傾斜角為$\frac{2π}{3}$．得直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos\frac{2π}{3}\\ y=tsin\frac{2π}{3}\end{array}\right.$（t為參數），化簡可得答案；
（2）設A、B對應的參數分別為t₁，t₂，則|AM|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|，進而可得答案．

解答 （本題滿分10分）
解：（1）曲線C：ρ-2sinθ=0可化為：ρ²-2ρsinθ=0，
故曲線C的直角坐標方程為：x²+y²-2y=0，
即x²+（y-1）²=1…（2分）
 直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos\frac{2π}{3}\\ y=tsin\frac{2π}{3}\end{array}\right.$（t為參數）
即$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數）…（5分）
（2）設A、B對應的參數分別為t₁，t₂
把直線l的參數方程代入曲線方程得  ${（1-\frac{1}{2}t）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}t-1）^2}=1$
整理得${t^2}-（\sqrt{3}+1）t+1=0$
∴$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=\sqrt{3}+1\\{t_1}•{t_2}=1\end{array}\right.$
∵t₁-t₂＞0
∴$|{AM}|+|{MB}|=|{t_1}|+|{t_2}|=|{{t_1}+{t_2}}|=\sqrt{3}+1$…（10分）

點評 本題考查的知識點是圓的極坐標方程，直線的參數方程，直線參數方程中參數的幾何意義，難度中檔．