Question

10．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3≤0}\\{x+3y-3≥0}\\{y≤1}\end{array}\right.$，z=2x+y的最大值為m，若正數(shù)a，b滿足a+b=m，則$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值為（　　）

• A． 9
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，求最大值m，然后根據(jù)基本不等式的性質進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）
由z=2x+y得y=-2x+z，平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當直線y=-2x+z經(jīng)過點A（3，0）時，直線y=-2x+z的截距最大，此時z最大．
代入目標函數(shù)z=2x+y得z=2×3=6．
即m=6．
則a+b=6，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）（a+b）=$\frac{1}{6}$（1+4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$）≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$）=$\frac{3}{2}$，當且僅當a=2，b=4取等號，
故選：B

點評 本題主要考查線性規(guī)劃以及基本不等式的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．