Question

設函數f(x)＝(1＋x)²－2ln(1＋x)

(1)若關于x的不等式f(x)－m≥0在[0，e－1]有實數解，求實數m的取值范圍；

(2)設g(x)＝f(x)－x²－1，若關于x的方程g(x)＝p至少有一個解，求p的最小值．

(3)證明不等式：ln(n＋1)＜1＋＋＋…＋(n∈N^*)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依題意得 　　，而函數的定義域為 　　∴f(x)在(－1，0)上為減函數，在(0，＋∞)上為增函數，則f(x)在[0，e－1]上為增函數 　　 　　即實數m的取值范圍為m≤e2－2；4分 　　(2) 　　則 　　顯然，函數g(x)在(－1，0)上為減函數，在(0，＋∞)上為增函數 　　則函數g(x)的最小值為g(0)＝0 　　所以，要使方程g(x)＝p至少有一個解，則p≥0，即p的最小值為0；8分 　　(3)由(2)可知：g(x)＝2[x－ln(1＋x)]≥0在(－1，＋∞)上恒成立 　　所以ln(1＋x)≤x，當且僅當x＝0時等號成立 　　令，則x∈(0，1)代入上面不等式得： 　　即，即 　　所以，ln2－ln1＜1，，，…， 　　將以上n個等式相加即可得到：；12分