Question

如圖所示，一種樹形圖為：第一層是一條與水平線垂直的線段，長度為第二層在第一層線段的前端作兩條與其成135°角的線段，長度為其一半；第三層按第二層的方法在每一條線段的前端生成兩條線段．重復前面的作法作圖至第《層，設樹形的第n層的最高點至水平線的距離為第W層的樹形的總高度，則到第四層的樹形圖的總高度h₄=

5

4

+

5 2

16

，當n為偶數時，到第《層的樹形圖的總高度h_n=

4+ 2

3

[1-(

1

2

)n]

Answer 1

分析：根據樹形圖的規(guī)則，可先求出第一層的最高點到水平線的距離為h₁=1米；第二層的最高點到水平線的距離為h₂=1+

1

2

×

2

2

；第三層的最高點到水平線的距離為h₃=1+

1

2

×

2

2

+

1

4

；第四層的最高點到水平線的距離為h₄=1+

1

2

×

2

2

+

1

4

+

1

8

×

2

2

，從而可求當n為偶數時，到第W層的樹形圖的總高度h_n=1+

1

2

×

2

2

+

1

4

+

1

8

×

2

2

+…+

1

2n

+

1

2n+1

× 

2

2

，故可得結論

解答：解：第一層的最高點到水平線的距離為h₁=1米；
第二層的最高點到水平線的距離為h₂=1+

1

2

×

2

2

；
第三層的最高點到水平線的距離為h₃=1+

1

2

×

2

2

+

1

4

；
第四層的最高點到水平線的距離為h₄=1+

1

2

×

2

2

+

1

4

+

1

8

×

2

2

=

5

4

+

5 2

16

；
推而廣之，當n為偶數時，到第W層的樹形圖的總高度h_n=1+

1

2

×

2

2

+

1

4

+

1

8

×

2

2

+…+

1

2n

+

1

2n+1

× 

2

2

=（1+

1

4

+…+

1

2n

）+（

1

2

×

2

2

+

1

8

×

2

2

+…+

1

2n+1

×

2

2

）=

1-( 1 4 ) n 2

1- 1 4

+

2

2

×

1 2 [1-( 1 4 ) n 2 ]

1- 1 4

=

4+ 2

3

[1-(

1

2

)n]；

故答案為

5

4

+

5 2

16

；

4+ 2

3

[1-(

1

2

)n]．

點評：本題重點考查歸納推理，考查學生分析解決問題的能力，考查學生對新規(guī)則的理解，屬于基礎題．