知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為，直線l的方程為： 

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于、兩點

①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；

②已知點，求證：為定值

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）（1），（2）定值為 

【解析】

試題分析：(1) 橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形,可以看作是以長為底邊，高為的等腰三角形，故面積為，從而可以列出等式，又由離心率得及，可解出，從而求出橢圓的方程 （2）直線和橢圓相交，其方程聯(lián)立方程組，消去，可得關(guān)于的二次方程，利用韋達定理可得，這就是相交弦的中點的橫坐標，從而求出，把用坐標表示出來，借助（1）中的二次方程得出的代入，就可證明出定值

試題解析：（Ⅰ）因為滿足，，      2分

，解得，，

則橢圓方程為       4分

（Ⅱ）（1）設(shè)，將代入并化簡得

      6分

，

則是上述方程的解

，      7分

因為的中點的橫坐標為，所以，解得    9分

（2）由（1），，

，為定值

考點：（Ⅰ）橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)；（Ⅱ）直線與橢圓的位置關(guān)系問題

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，橢圓的短軸端點與雙曲線
y2
2
-x2=1的焦點重合，過P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率e=
3
2
，S△DEF2=1-
3
2
．若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點N（
x0
a
，
y0
b
）稱為點M的一個“橢點”．直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分13分）

  如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的

  左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢

  圓的焦點，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點

  分別 為和

   （Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程； 

   （Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；

   （Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？

      若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

                                                             

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆江西省高三第四次月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知橢圓的左焦點,為坐標原點,點在橢圓上,點在橢

圓的右準線上,若,則橢圓的離心率為   ．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年重慶市高三下學期2月月考文科數(shù)學 題型：選擇題

已知是橢圓上的點，以為圓心的圓與軸相切于橢

圓的焦點，圓與軸相交于兩點.若為銳角三角形，則橢圓的離心率

的取值范圍為（     ）

A.     B.       C.     D.

 

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