已知點P是雙曲線右支上的任意一點,由P點向雙曲線的兩條漸近線引垂線,垂足為M和N,則△PMN的面積為( )
A.
B.
C.
D.
【答案】分析:根據(jù)題意,算出雙曲線的漸近線方程為y=±x,可得漸近線的夾角為60°,由四邊形內角和定理算出,∠MPN=120°.設P(m,n),根據(jù)點到直線的距離公式分別算出|PM|、|PN|關于m、n的式子,結合雙曲線方程算出|PM|•|PN|=,最后根據(jù)正弦定理的面積公式即可算出△PMN的面積.
解答:解:∵雙曲線的漸近線方程為y=±x,即
∴兩條漸近線的夾角為60°
∵PM⊥OM且PN⊥ON,∴∠MPN=120°
設P(m,n),可得
|PM|=,且|PN|=
可得|PM|•|PN|==
因此,△PMN的面積為S=|PM|•|PN|sin120°=
故選:C
點評:本題給出雙曲線上一點P,P在兩條漸近線上的射影點分別為M、N,求△PMN的面積.著重考查了雙曲線的簡單幾何性質、四邊形內角和定理和三角形的面積公式等知識,屬于中檔題.
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A.4          B.            C.2             D.

 

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A.4                  B.             C.2            D.

 

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    A.       B.      C.         D.

 

 

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