如圖，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2a，AA1＝a，E和F分別是A1B1和B1C1的中點(diǎn)，求：

(1)EF和AD1所成的角的正弦值；

(2)AC1與B1C所成角的余弦值.

 

 

答案：
解析：

解：(1)取BB1的中點(diǎn)M，分別連結(jié)AD1、BC1、MF、ME

∵E、F為A1B1、B1C1的中點(diǎn)

∴MFBC1，MEA1B

由ABCD—A1B1C1D1為長(zhǎng)方體的性質(zhì)知

AD1∥BC1

∴AD1∥MF

∴∠EFM為AD1和EF所成的角.

由長(zhǎng)方體性質(zhì)且AB＝BC＝2a，A1A＝a

∴EM＝FM＝a，EF=a

由三角形余弦定理，知

cosMFE＝，

則sinMFE＝

 (2)把長(zhǎng)方體補(bǔ)成正方體A1B1C1D1—MNPQ，如圖，連結(jié)MC、MB1，

由正方體的性質(zhì)可知MC∥AC1，

∴∠B1CM（或其補(bǔ)角)為AC1和B1C所成的角α

在正方體A1B1C1D1—MNPQ中，A1B1＝B1C1＝2a，A1M＝2a，

∴B1C＝a，MB1＝2a，MC＝3a，

∴由三角形余弦定理可得

cosMCB1＝＞０

∴AC1和B1C所成的角的余弦值為.

 

 

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
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①EF與BB1垂直；
②EF⊥平面BCC1B1；
③EF與C1D所成角為45°；
④EF∥平面A1B1C1D1．
不成立的是（　�。�

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2
12
，求三棱錐F-A1C1D的高．

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A、
74
B、5
2
C、4
5
D、3
10

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