Question

函數(shù) f（x）=

1

2

x2-

m

2

ln（1+2x）+mx-2m，其中 m＜0．
（Ⅰ）試討論函數(shù) f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）已知當(dāng) m≤-

e

2

（其中 e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，在 x∈(-

1

2

，

e-1

2

]上至少存在一點(diǎn) x₀，使 f（x₀）＞e+1成立，求 m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當(dāng) m=-1時(shí)，對(duì)任意 x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有 

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=x-

m

1+2x

+m=

2x2+(2m+1)x

1+2x

=

x(2x+2m+1)

2x+1

；討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）由 m≤-

e

2

可推導(dǎo)出

e-1

2

≤-

2m+1

2

，故在 x∈(-

1

2

，

e-1

2

]上至少存在一點(diǎn) x₀，使 f（x₀）＞e+1成立可化為f（0）＞e+1，從而解得；
（Ⅲ）由導(dǎo)數(shù)的定義可得，對(duì)任意 x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

1

3

可化為f′（x）＜

1

3

，任意 x∈（0，1）恒成立，從而證明．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

2

x2-

m

2

ln（1+2x）+mx-2m，
∴f′（x）=x-

m

1+2x

+m=

2x2+(2m+1)x

1+2x

=

x(2x+2m+1)

2x+1

；
①當(dāng)2m+1=0，即m=-

1

2

時(shí)，f′（x）≥0，
故f（x）在（-

1

2

，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)0＜2m+1＜1，即-

1

2

＜m＜0時(shí)，
故f（x）在（-

1

2

，-

2m+1

2

），（0，+∞）上是增函數(shù)；
在（-

2m+1

2

，0）上是減函數(shù)；
③當(dāng)m＜-

1

2

時(shí)，
f（x）在（-

1

2

，0），（-

2m+1

2

，+∞）上是增函數(shù)；
在（0，-

2m+1

2

）上是減函數(shù)；
（Ⅱ）∵m≤-

e

2

，
∴

e-1

2

≤-

2m+1

2

，
故在 x∈(-

1

2

，

e-1

2

]上至少存在一點(diǎn) x₀，使 f（x₀）＞e+1成立可化為
f（0）＞e+1，
即-2m＞e+1，
故m＜-

e+1

2

；
（Ⅲ）證明：當(dāng) m=-1時(shí)，
f′（x）=x+

1

2x+1

-1在（0，

2 -1

2

）上是減函數(shù)，
在（

2 -1

2

，1）上是增函數(shù)，
且f′（0）=0，f′（1）=

1

3

；
故f′（x）＜

1

3

，任意 x∈（0，1），
而由導(dǎo)數(shù)的定義可得，
對(duì)任意 x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．