Question

13．已知
${C}_{5}^{1}$+${C}_{5}^{5}$=2³-2
${C}_{9}^{1}$+${C}_{9}^{5}$+${C}_{9}^{9}$=2⁷-2³
${C}_{13}^{1}$+${C}_{13}^{5}$+${C}_{13}^{9}$+${C}_{13}^{13}$=2¹¹-2⁵
${C}_{17}^{1}$+${C}_{17}^{5}$+${C}_{17}^{9}$+${C}_{17}^{13}$+${C}_{17}^{17}$=2¹⁵-2⁷
…
按以上述規(guī)律，則${C}_{4n+1}^{1}$+${C}_{4n+1}^{5}$+…+${C}_{4n+1}^{4n+1}$=2^4n-1-2^2n-1．

Answer 1

分析 由已知的四個等式觀察規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每個等式的右邊是被減數(shù)是2的冪的形式，其中指數(shù)是以3為首項4為公差的數(shù)列；減數(shù)是以1為首項2為公差的等差數(shù)列，
由此得到規(guī)律．

解答 解：由已知的四個等式觀察規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每個等式的左邊的組合數(shù)下標為4n+1，上標為是從1開始依次以4 為等差遞增，右邊是的被減數(shù)是2的冪的形式，其中指數(shù)是以3為首項4為公差的數(shù)列；減數(shù)2 以1為首項2為公差的等差數(shù)列，
所以按以上述規(guī)律，則${C}_{4n+1}^{1}$+${C}_{4n+1}^{5}$+…+${C}_{4n+1}^{4n+1}$=2^4n-1-2^2n-1；
故答案為：2^4n-1-2^2n-1．

點評 本題考查了合情推理的歸納推理；關鍵是由已知的等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并正確的歸納總結(jié)．