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11.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(n+1)an+(n+1)!.
(Ⅰ)求證:數(shù)列{ann!}是等差數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求{an}的前n項(xiàng)和Sn

分析 (Ⅰ)根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)求得的{an}的通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)相消求和解答.

解答 解:(Ⅰ)依題意,an+1=n+1an+n+1!an+1n+1!=ann!+1,
所以{ann!}是以a11=1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,
所以ann!=1+n1×1=n,
即an=n•n!.
(Ⅱ)因?yàn)閍n=n•n!=(n+1)!-n!,
所以Sn=(2!-1!)+(3!-2!)+…+[(n+1)!-n!],
所以Sn=(n+1)!-1.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解,利用裂項(xiàng)相消求和是解決(Ⅱ)題的關(guān)鍵.

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