已知圓,定點.動圓M過點F2,且與圓F1相內(nèi)切.

(1)求點M的軌跡C的方程;

(2)若過原點的直線l與(1)中的曲線C交于A,B兩點,且△ABF1的面積為,求直線l的方程.

同下


解析:

(1)設圓M的半徑為r

因為圓M與圓F1相內(nèi)切,所以MF1=4-r

因為圓M過點F2,所以MF2r

所以MF1=4-MF2,即MF1MF2=4.

所以點M的軌跡C是以F1,F2為焦點的橢圓.

……………………3分

   且此橢圓的方程形式為+=1(ab>0).

其中2a=4,c=1,所以a=2,b=.

所以曲線C的方程+=1.……………5分

(2)(方法一)當直線l的斜率不存在時, A,B兩點的坐標分別是(0,),(0,-),

此時SABF=≠,不合題意.………………………………………………………6分

設直線l的方程為ykx (k≠0),代入橢圓方程+=1,得y1=,

y2=-.

所以SABFSAOFSBOFOF1×∣y1∣+OF1×∣y2∣=OF1×(y1y2)=.

……………………………………………8分

因為SABF=,所以=.解得k=±.

故所求直線l的方程為x±2y=0.……………………………………………………10分

(方法二)因為直線l過橢圓的中心,由橢圓的對稱性可知,SABF=2SAOF

因為SABF=,所以SAOF=.              ………………………………6分

不妨設點A(x1y1)在x軸上方,則SAOF=×OF1×y1=.

所以y1=,x1=±,即點A的坐標為(,)或(-,).……………8分

所以直線l的斜率為±.

故所求的直線l的方程為x±2y=0.…………………………………………………10分

(方法三)當直線l的斜率不存在時, A,B兩點的坐標分別是(0,),(0,-),

此時SABF=≠,不合題意.………………………………………………………6分

設直線l的方程為ykx (k≠0),代入橢圓方程+=1,得,

所以

到直線AB的距離d=,

所以SABF=2       …………………8分

所以=.解得k=±.   …………………………9分

故所求直線l的方程為x±2y=0.……………………………………………………10分

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